Побреет ли Ахилл черепаху? Или: грабли Кантора.

            Рассмотрим алгоритм нумерации БДД как бесконечных символьных последовательностей. Считать будем блоками. Первый блок – число 0 – «раз». Второй блок – последовательность чисел вида Х.Х (от -9.9 до 9.9) «два, три … 199». (Уже посчитанное число 0 мы пропустили). Третий блок - последовательность чисел вида ХХ.ХХ (от -99.99 до 99.99) «двести, 201, 202 … 19999» (посчитанное в предыдущих блоках  мы пропустили). И так далее, пока не надоест. Для наглядности нарисуем таблицу: Окаймление нулями всех чисел в таблице – принципиально, поскольку мы по определению рассматриваем исключительно неограниченные последовательности.

Назовите мне любую десятичную дробь, и я назову номер шага, на котором мы ее пересчитали. Например, число пи. А вот и не назовете, конца-края такое число не имеет, говорят так: вещественные числа есть бесконечная десятичная (или двоичная) дробь и мы ее при нашей методике не пересчитали. Лукавство все это.

 

Поскольку не все длины соизмеримы с единичным отрезком, а всякой длине мы все равно желаем сопоставить число, Дедекинд  предложил хитрость – всякой точке на (числовой) прямой поставить в соответствие все рациональные числа, которые лежат слева от точки. В частности для иррационального числа получим множество, в котором нет наибольшего числа. Такое утверждение очевидно. Также очевидно, что это множество счетно. Ну и третья очевидность – элементы множества вплотную подступают к иррациональной точке. По Коши иррациональная точка является пределом хорошо подобранной неубывающей последовательности, например последовательности десятичных приближений. Так и родился термин БДД. Это не просто неограниченная последовательность символов, которые мы выше пересчитали, а новые математические объекты – вещественные числа. И для их обозначения следует использовать завершенную (актуальную) последовательность символов (цифр), в которой определен последний символ.